Вообще, если один элемент может встречаться 1 раз, то число вариантов есть (по определению, т.к. порядок элементов в сумме не важен) число
сочетаний из 20 по 5, т.е. (20!/(15!*5!)) = 20*19*18*17*16/(1*2*3*4*5) = 15504. Если может встречаться 5 раз, то задача подсчёта сводится к "найти число способов разложить n одинаковых шаров по m разным корзинам", где n = 5, m = 20. Ответ (задачка известная, накрайняк - гуглится Upd: блин, оно же и в вики есть) - C(m + n - 1, n) = 42504.
Собсно идея решения задачи - берётся 19 перегородок и между ними расставляется 5 шаров. Она же может использоваться для переборного решения. Только я думаю хотят не переборное решение, если это не реальные трубы %) Целые ли длины труб? Какая вообще точная формулировка? %)