[crastinator]

Данные сессии на сервере, все правильно. Но сервер посылает id сессии в виде куки ASP.NET_SessionId в http заголовке ответа. По этому идентификатору он потом при следующем запросе сможет узнать, какие данные сессии использовать. Именно этот id, хранящийся в cookie, мне и нужно получить, чтобы послать с ним запрос на сервер в рамках той же сессии.

Если делать запрос через URLStream, он идет средствами браузера и все эти куки посылаются автоматически. Но URLStream, похоже, не годится для моей задачи (HTTP1.1 и HTTPS), поэтому приходится работать на уровне сокетов и формировать запросы и заголовки самому. Для этого и нужно знать значение cookies.