Это - первая часть из курса статей "3d обучение". Здесь будут рассмотрены основные 3d преобразования и как их эффективней реализовать в flash mx. Содержание. Введение. 1. Основы. 1.1 - координаты точки 1.2 - система координат 2. Преобразование поворота. 2.1 - поворот вокруг координатных осей относительно центра координат 2.2 - поворот вокруг координатных осей относительно произвольной точки 2.3 - поворот вокруг произвольной оси относительно центра координат 2.4 - поворот вокруг произвольной оси относительно произвольной точки 3. Преобразование масштабирования. 3.1 - масштабирование относительно центра координат 3.2 - масштабирование относительно произвольной точки 4. Преобразование сдвига. 4.1 - сдвиг начала координат 5. Проецирование. 5.1 - перспективное проецирование 6. Комбинирование преобразований. 6.1 - последовательное выполнение сдвигов 6.2 - последовательное выполнение поворотов 6.3 - последовательное выполнение масштабирований Заключение.  1. Основы. Предполагаемые обозначения в тексте x, y, z - координаты точки x', y', z' - новые координаты точки xp, yp - проецированные координаты точки dist - дистанция от точки наблюдения (позиции камеры) до центра координат cnx, cny - координаты центра клипа sin(A), cos(A), tan(A) - синус, косинус и тангенс угла A rad = Math.PI/180 - коэффициет перевода градусов в радианы и обратно 1.1 Координаты точки. Точка в 3d пространстве имеет три координаты (x,y,z) - это расстояние от каждой из осей до самой точки. К примеру координаты (1, 2, 3) означают, что точка расположена на расстоянии 1 от оси X, на расстоянии 2 от оси Y и на расстоянии 3 от оси Z. 1.2 Система координат. В нашем случае мы будем применять правую систему координат. Правая система координат наиболее часто применяется в машинной графике. определение: Система координат называется правой, если для совмещения с положительной полуосью Y положительную полуось X требуется повернуть на +90° при этом направление движения расположенного вдоль оси Z и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси Z совпадают. 2. Преобразование поворота. Преобразование поворота играет важнейшую роль в 3d движениях. Без него невозможны плавные движения облёта, вращения и др. основополагающие движения камеры. 2.1 Поворот вокруг координатных осей относительно центра координат. Самым лёгким поворотом является поворот вокруг координатной оси. Формулы поворота вокруг координатных осей на угол A - вокруг оси X x' = x; y' = y*cos(A)-z*sin(A); z' = y*sin(A)+z*cos(A); - вокруг оси Y x' = x*cos(A)+z*sin(A); y' = y; z' = -x*sin(A)+z*cos(A); - вокруг оси Z x' = x*cos(A)-y*sin(A); y' = x*sin(A)+y*cos(A); z' = z; 2.2 Поворот вокруг координатных осей относительно произвольной точки. Смысл поворота вокруг произвольной точки: - делаем сдвиг начала координат в нужную точку - производим поворот - возвращаем центр координат обратно на место Формулы поворота относительно точки M(x0,y0,z0) на угол A - вокруг оси X x' = x; y' = y0+(y-y0)*cos(A)+(z0-z)*sin(A); z' = z0+(y-y0)*sin(A)+(z-z0)*cos(A); - вокруг оси Y x' = x0+(x-x0)*cos(A)+(z-z0)*sin(A); y' = y; z' = z0+(x0-x)*sin(A)+(z-z0)*cos(A); - вокруг оси Z x' = x0+(x-x0)*cos(A)+(y0-y)*sin(A); y' = y0+(x-x0)*sin(A)+(y-y0)*cos(A); z' = z; 2.3 Поворот вокруг произвольной оси относительно центра координат. Вращение вокруг произвольной оси немного сложнее. Его нужно непременно знать и понимать. Формулы поворота на угол A вокруг произвольной оси (alpha, beta, gamma) temp = 1.0-cos(A); x' = x*(alpha*temp*alpha + cos(A)) + y*(beta*temp*alpha - sin(A)*gamma) + z*(gamma*temp*alpha + sin(A)*beta); y' = x*(alpha*temp*beta + sin(A)*gamma) + y*(beta*temp*beta + cos(A)) + z*(gamma*temp*beta - sin(A)*alpha); z' = x*(alpha*temp*gamma - sin(A)*beta) + y*(beta*temp*gamma + sin(A)*alpha) + z*(gamma*temp*gamma + cos(A)); 2.4 Поворот вокруг произвольной оси относительно произвольной точки. Смысл поворота относительно произвольной точки вокруг произвольной оси: - делаем сдвиг начала координат в нужную точку - производим поворот вокруг произвольной оси - возвращаем центр координат обратно на место Формулы поворота на угол A вокруг произвольной оси (alpha, beta, gamma) относительно точки M(x0, y0, z0) temp = 1.0-cos(A); x' = x0 + (x-x0)*(alpha*temp*alpha + cos(A)) + (y-y0)*(beta*temp*alpha - sin(A)*gamma) + (z-z0)*(gamma*temp*alpha + sin(A)*beta); y' = y0 + (x-x0)*(alpha*temp*beta + sin(A)*gamma) + (y-y0)*(beta*temp*beta + cos(A)) + (z-z0)*(gamma*temp*beta - sin(A)*alpha); z' = z0 + (x-x0)*(alpha*temp*gamma - sin(A)*beta) + (y-y0)*(beta*temp*gamma + sin(A)*alpha) + (z-z0)*(gamma*temp*gamma + cos(A)); 3. Преобразование масштабирования.Преобразование масштабирования это - изменение размера, изменение масштаба. 3.1 Масштабирование относительно центра координат. Наипростейшим масштабированием является масштабирование относительно центра координат. Это достаточно часто используемое преобразование. Sx, Sy, Sz - коэффициенты масштабирования по осям X, Y и Z Формула масштабирования: x' = x*Sx; y' = y*Sy; z' = z*Sz; 3.2 Масштабирование относительно произвольной точки. Данное преобразование нужно в основном для увеличения отдельных деталей фигуры. Допустим вам нужно промасштабировать один кубик. Делаем сдвиг центра координат в центр кубика, масштабируем все точки куба, и возвращаем центр координат на место. Вуаля - кубик увеличился в размерах не сдвигаясь со своего места. Смысл масштабирования относительно произвольной точки: - делаем сдвиг начала координат в нужную точку - производим масштабирование - возвращаем центр координат обратно на место Формула масштабирования относительно произвольной точки M(x0,y0,z0): x' = x0+(x-x0)*Sx; y' = y0+(y-y0)*Sy; z' = z0+(z-z0)*Sz; 4. Преобразование сдвига. Название говорит само за себя - изменение позиции точки. 4.1 Сдвиг начала координат. incX, incY, incZ - величина сдвига по осям X, Y и Z; Формула преобразования сдвига: x' = x+incX; y' = y+incY; z' = z+incZ; 5. Проецирование. Прошу не путать. Все вычисления производятся исключительно с нормальными координатами. Проецирование производится в самом конце, и оно не запоминается и не заменяет координат точки. Оно лишь нужно для визуально более реального изображения (получения перспективы) и перехода от 3d координат к 2d (монитор-то 2d, а не 3d)! 5.1 Перспективное проецирование. Формула перспективного проецирования: rx = cnx + x*dist/(dist+z); ry = cny - y*dist/(dist+z); 6. Комбинирование преобразований. Последовательное выполнение нескольких преобразований можно представить в виде единого преобразования. Это затрачивает меньше ресурсов машины. 6.1 Последовательное выполнение сдвигов. Сдвиг аддитивен, т.е. последовательное выполнение сдвигов на расстояние (T1.x, T1.y, T1.z) и (T2.x, T2.y, T2.z) эквивалентно одному сдвигу на расстояние (T1.x + T2.x, T1.y + T2.y, T1.z + T2.z). 6.2 Последовательное выполнение поворотов. Можно показать, что два последовательных поворота аддитивны. Например повернём точку на угол 45° и после этого повернём на угол -67°. Это эквивалентно повороту на угол (45° + (-67°)) = -22°. 6.3 Последовательное выполнение масштабирований. Первое масштабирование с коэффициентами (Sx1, Sy1, Sz1) второе с коэффициентами (Sx2, Sy2, Sz2). Следует ожидать, что суммарное масштабирование будет мультипликативным. А именно последовательное выполнение этих масштабирований даст результат, эквивалентный масштабированию (Sx1*Sx2, Sy1*Sy2, Sz1*Sz2). Заключение. С помошью этих формул можно производить любые 3d преобразования. Конечно, в матричных вычислениях это намного удобнее, и выглядело бы это всё лучше, но и ресурсов оно бы занимало намного больше. В следующих статьях будет также: 3d движок на матрицах 4x4 с движениями произвольной камеры, 3d освещение, 3d сортировка, 3d удаление невидимых граней, 3d тень и так далее. Удачи! Всегда Ваш Григорий Рябов / Nuran. Сделано специально для flasher.ru. Продолжение следует... Перепечатка данного материала строго запрещена!
|
